среда, 28 октября 2015 г.

Какую долю занимает четверть?

В 2011 году в журнале Наука и Жизнь появилась статья «Полезная геометрия», в которой читателю предлагалось отмерить половину или четверть (цилиндрического) стакана без подручных средств. В статье утверждается, чтобы отмерить половину, достаточно слить (или высыпать) его содержимое стакана так, чтобы остаток полностью закрывал дно, а для четверти — доходил ровно до середины дна. Если с первым утверждением можно легко согласиться, так как форма содержимого симметрична форме оставшегося воздушного пространства, то с четвертью все не так просто. Попробуем проанализировать ситуацию с помощью воображения и следующей картинки.

Трехмерный стакан FreCAD

Имея подобный рисунок, можно проследить, что форма содержимого не симметрична форме воздуха, дополняющего его объем до половины стакана. А именно, хотя соприкасающаяся поверхность априори равна, площадь полукругов тоже ровна (дно и горло стакана), но у воздушной формы верхняя часть составлена прямоугольником, тогда как объем содержимого скошен снизу формой стакана.
Если кому-нибудь интересно доказательство данного утверждения, или может быть хочется узнать какую же именно часть будет занимать «четверть», предлагаю ознакомиться со следующими математическими выкладками.

Постановка задачи

В начале мы определим объем содержимого стакана, затем, чтобы проверить верно ли решение, посмотрим, равна ли половине объема цилиндра сумма объемов содержимого и дополняющей его части до половины стакана.
В общем случае объем определяется как площадь, умноженная на длину. В данном случае, так как площадь сечения фигуры (поперек цилиндра) меняется с его длинной, решением будет выразить площадь сечения через длину и проинтегрировать по ней.

Объем содержимого

Приступим к определению объема содержимого. Начнем c площади сечения.
Если рассматривать круглое сечение стакана, приходит идея, что можно выразить площадь содержимого через угол, образованный линиями, соединяющими края содержимого с центром окружности, назовем его углом φ.

Чертёж проекций стакана в Draw

Как известно, площадь круга равна πR2. Тогда площадь сектора (S1), образованного углом φ, будет относится к площади всего круга как угол φ к 360° или . В формульной записи:

площадь сектора

(1)

Площадь сектора S1 состоит из искомой площади S3 и площади треугольника над ней S2. Площадь треугольника можно определить через его половинку, заштрихованную на рисунке ниже.

Чертёж угла в Draw

Будучи прямоугольным треугольником, его площадь будет произведением катетов, деленная пополам, а так как площадь искомого треугольника вдвое больше, то просто произведению прилежащего и противолежащего катетов к углу φ/2. Вспоминаем из тригонометрии, что длина прилежащего к углу катета равна Rcos(α), а противолежащего -Rsin(α). Тогда площадь искомого треугольника равна:

площадь треугольника

(2)

Зная, что sin(2α) = 2sin(α)cos(α), мы можем преобразовать это выражение:

площадь треугольника

(3)

Тогда искомая площадь содержимого равна:

площадь содержимого

(4)

Осталось выразить ее через длину цилиндра, чтобы стало возможным проинтегрировать для получения объема. Обратимся к рисунку сверху. Очевидно, что при сечении цилиндра в разных местах по его длине мы будем получать разную площадь среза содержимого и соответственно, разный угол φ. Высота среза содержимого, назовем ее l1, изменяется от 0 до радиуса цилиндра R, а расстояние между горлом стакана и срезом, h1, - от нуля до длины цилиндра H. Так как треугольник со сторонами H и R и треугольник со сторонами l1 и h1 подобны (их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны), l1 относится к R так же как h1 к H:

линейная зависимость

(5)

Если посмотреть на две проекции одновременно, можно заметить, что прилежащий к углу φ/2 катет (выраженный как Rcos(φ/2)) равен разнице радиуса R и высоты среза содержимого l1:

раница радиуса и высоты среза содержимого

(6)

Подставляя в это выражение значение l1 выведенное в (5), получаем:

раница радиуса и высоты среза содержимого

(7)

Делим обе части на R:

раница радиуса и высоты среза содержимого, упрощение

(8)

Выражаем φ:

угол фи

(9)

Теперь полученное значение φ мы можем подставить в выражение площади сечения содержимого (4), получая, как и требовалось, ее зависимость от изменения расстояния между горлом стакана и срезом, h1:

площадь содержимого

(10)

Для упрощения временно заменим (1-h1/H) на x. Так как sin(2α)=2sin(α)cos(α):

синус двух аркосинусов

(11)

Заменяя x обратно на (1-h1/H) и подставляя выражение (11) в (10), получаем:

площадь содержимого

(12)

Итак, площадь сечения содержимого выражена через расстояние от горла стакана до этого сечения. Можно приступить к интегрированию.
Объем содержимого равен площади сечения (12), проинтегрированной по всей длине цилиндра:

объём содержимого

(13)

Тогда как искушенный читатель может попробовать свои силы в решении данного выражения самостоятельно, для ценителей времени предлагается воспользоваться свободной программой для аналитических вычислений wxMaxima (аналог MathСad). Решением этого интеграла является:

объём содержимого

(14)

Сразу можно сказать, что полученный результат не равен четверти цилиндра πR2H/4.

Объем пространства до половины стакана

Теперь, чтобы убедиться в нашей правоте, нам нужно определить объем части, дополняющий объем содержимого до половины стакана. Алгоритм действий такой же, только теперь мы концентрируемся на фигурах, заштрихованных на рисунке ниже.

Чертёж проекций стакана в Draw

Площадь сечения определить уже легче, так как мы знаем площадь сечения содержимого S3 (4). Искомая площадь равна всего-то разнице площади полукруга πR2/2 и найденной площади содержимого:

площадь остатка до половины

(15)

Далее нам нужно выразить угол φ через длину цилиндра, что мы делаем аналогично, только теперь, так как треугольник на продольном сечении перевернут относительно такового для содержимого, находим эту зависимость следующим образом:

высота содержимого

(16)


высота содержимого

(17)


высота содержимого

(18)


высота содержимого

(19)


угол фи

(20)

Подставляем полученное значение φ в уравнение площади (15):

площадь остатка до половины

(21)

Упрощаем последнее слагаемое этого выражения аналогично (11, 12):

синус двух аркосинусов

(22)

И получаем упрощенное уравнение площади сечения, подставляя (22) в (21) и внося ½ в скобки:

площадь остатка до половины

(23)

Теперь для получения объема интегрируем полученное выражение по длине цилиндра:

объём остатка до половыны

(24)

Получаем следующий результат:

объём остатка до половыны

(25)


Проверка

Попробуем сложить полученные объемы фигур и проверить, равен ли результат половине объема цилиндра:

сумма объёмов

(26)

Все верно, сумма объемов содержимого и пространства над ним до половины дают нам ровно половину объема цилиндра.

Чему же равна четверть

Чтобы понять, какую же долю составляет «четверть», найдем отношение объема «четверти», V1, к объему всего цилиндра:

доля четверти

(27)

Итак, объем содержимого стакана, если выливать его, пока оно не откроет ровно половину дна, на 4% меньше четверти.
В реальности редкий стакан будет строго цилиндрической формы. Однако, для усеченного конуса эта разница будет еще больше. Но не смею отнимать у вас удовольствие доказать это самостоятельно :)
Конечно, большинство кулинарных рецептов не требуют такой точности, поэтому мы можем позволить себе пользоваться этим методом, считая четвертью 21% объема стакана :)

Дополнительная литература и источники: