среда, 28 октября 2015 г.

Какую долю занимает четверть?

В 2011 году в журнале Наука и Жизнь появилась статья «Полезная геометрия», в которой читателю предлагалось отмерить половину или четверть (цилиндрического) стакана без подручных средств. В статье утверждается, чтобы отмерить половину, достаточно слить (или высыпать) его содержимое стакана так, чтобы остаток полностью закрывал дно, а для четверти — доходил ровно до середины дна. Если с первым утверждением можно легко согласиться, так как форма содержимого симметрична форме оставшегося воздушного пространства, то с четвертью все не так просто. Попробуем проанализировать ситуацию с помощью воображения и следующей картинки.

Трехмерный стакан FreCAD

Имея подобный рисунок, можно проследить, что форма содержимого не симметрична форме воздуха, дополняющего его объем до половины стакана. А именно, хотя соприкасающаяся поверхность априори равна, площадь полукругов тоже ровна (дно и горло стакана), но у воздушной формы верхняя часть составлена прямоугольником, тогда как объем содержимого скошен снизу формой стакана.
Если кому-нибудь интересно доказательство данного утверждения, или может быть хочется узнать какую же именно часть будет занимать «четверть», предлагаю ознакомиться со следующими математическими выкладками.